sinα+sinβ=1 求证|cosα+cosβ|<=根号3

sinα+sinβ=1
则(sinα+sinβ)^2=(sinα)^2+(sinβ)^2+2sinαsinβ=1
(cosα+cosβ)^2=(cosα)^2+(cosβ)^2+2cosαcosβ
两式相加：
1+(cosα+cosβ)^2=1+1+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=2+2cos(α-β)

所以，(cosα+cosβ)^2=1+2cos(α-β)
因为cos(α-β)≤1
所以，(cosα+cosβ)^2≤1+2=3
所以，|cosα+cosβ|≤√3

令cosα+cosβ=t
则(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2
=(sinα)^2+(sinβ)^2+2sinαsinβ+(cosα)^2+(cosβ)^2+2cosαcosβ
=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)
=2+2cos(α-β)
=1+t^2
即t^2=1+2cos(α-β)
因为cos(α-β)<=1
故t^2<=3
即|cosα+cosβ|<=根号3
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